Un autre regard en ophtalmologie

Nous évoquerons dans cet article les modes de calcul d’un astigmatisme induit chirurgicalement.

Mesure de l’astigmatisme induit par analyse vectorielle

À l’heure où la chirurgie de la cataracte se veut « phacoréfractive », il importe de quantifier avec précision l’astigmatisme cornéen chirurgical induit (ou SIA pour Surgically Induced Astigmatism) ; cette quantification repose sur une différence vectorielle (Form. 1).

Formule 1 – Si K1 est le vecteur de l’astigmatisme préopératoire et K3 le vecteur de l’astigmatisme postopératoire, l’astigmatisme induit chirurgicalement K2 s’exprime comme la différence vectorielle de K3 – K1 .

Il existe trois méthodes classiques d’analyse vectorielle du SIA, à l’origine de diverses méthodes dérivées utilisées dans les études (Holladay, Alpins, Naeser, Cravy, etc) :
1-  la méthode graphique,
2- la méthode des coordonnées polaires,
3- la méthode des sinus et des cosinus.

La méthode graphique

Elle consiste à reporter sur un graphe les vecteurs K1 et K3 dont les longueurs respectives sont égales aux magnitudes des astigmatismes pré- et postopératoire, et dont les angles respectifs α et γ sont égaux au double des angles des astigmatismes pré- et postopératoire (ce doublement permettant de passer d’une valeur d’astigmatisme exprimée entre 0 et 180° à un repère sur 360°). L’astigmatisme induit K2 peut alors être tracé comme la différence entre K3 et K1, dont la longueur et l’angle (à diviser par deux) peuvent alors être mesurés à la règle et au rapporteur. C’est la méthode la plus simple ; c’est également la moins précise (Fig. 1-4).

 

Figures 1 à 4 – Prenons l’exemple pratique, issu du rapport SFO 2001, d’un astigmatisme préopératoire K1 de magnitude +1,25 dioptrie et d’axe 15°. Le vecteur K1 sera donc tracé avec une longueur de 1,25 cm et un angle de
15 x 2 = 30°. Si l’astigmatisme postopératoire K3 est dans cet exemple de magnitude +2,50 dioptries et d’axe 60°, le vecteur K3 sera tracé avec une longueur de 2,50 cm et un angle de 60 x 2 = 120°. Contrairement à ce qui pourrait être supposé intuitivement, l’astigmatisme induit n’est pas de 1,25 dioptrie ; il s’agit d’une différence vectorielle et non algébrique. La différence vectorielle de K3 – K1 peut ainsi se représenter par le vecteur K2 (en jaune sur le schéma), dont les longueur et angle peuvent être mesurés : ici 2,80 cm et 146,8°. On en déduit un SIA de 2,80 D à 73,4° (l’angle doit être cette fois divisé par deux pour repasser d’un repère à 360° à une expression à 180°).

La méthode des coordonnées polaires

Elle consiste à passer par une étape intermédiaire de coordonnées cartésiennes (permettant d’additionner les vecteurs), entre deux expressions en coordonnées polaires. Encore une fois, les angles devront être doublés pour une représentation graphique sur 360°. Rappelons que le cosinus d’un angle θ est égal au rapport côté adjacent à θ sur hypoténuse, et que le sinus d’un angle θ est égal au rapport côté opposé à θ sur hypoténuse (Fig. 5). De cette manière, on peut exprimer les coordonnées cartésiennes (x, y) des vecteurs pré- (K1) et postopératoire (K3), en fonction de leur grandeur (K1 et K3) et de leur angle (α et γ) : on obtient ainsi les coordonnées cartésiennes xK1, yK1 et xK3, yK3 (Fig. 6). On en déduit les coordonnées cartésiennes de l’astigmatisme induit K2, dont l’abscisse xK2 est la différence entre les abscisses xK3 et xK1, et dont l’ordonnée yK2 est la différence entre les ordonnées yK3 et yK1, d’où la longueur de K2 calculée par le théorème de Pythagore comme la racine de (xK22 + yK22) (Fig. 7). Dans un cercle trigonométrique, le sinus d’un angle β est égal au sinus de son complémentaire π – β, alors que le cosinus d’un angle β est égal à l’opposé du cosinus de son complémentaire π – β. Ces équivalences trigonométriques nous permettent d’exprimer le sinus et le cosinus de l’angle β de l’astigmatisme induit en fonction des coordonnées xK2, yK2 et de la longueur K2 (Fig. 8). On en déduit l’angle β par la fonction inverse cos-1 ou sin-1, angle à diviser par deux pour revenir à une expression classique sur 180°.

 

Figures 5 à 8 – Dans la méthode des coordonnées polaires, deux conversions interviennent : une première pour passer d’une expression en coordonnées polaires à une expression en coordonnées cartésiennes (Fig. 5 et 6), puis une seconde pour revenir à une expression en coordonnées polaires une fois les calculs effectués (Fig. 7 et 8). Ainsi, c’est la détermination des coordonnées cartésiennes de l’astigmatisme induit K2 (xK2, yK2) qui permet d’en calculer sa valeur numérique K2, puis la détermination du sinus ou du cosinus de l’angle de K2 (β) qui permet d’en déduire l’angle β par la fonction inverse cos-1 ou sin-1. Cet angle doit enfin être divisé par deux.

La méthode des sinus et des cosinus

Elle repose sur le théorème d’Al-Kashi, mathématicien et astronome iranien du XVe siècle (Fig. 9 et 10), qui énonce que dans tout triangle, la longueur d’un côté s’exprime en fonction de la longueur des deux autres côtés et du cosinus de l’angle opposé à ce côté. Cette formule, connue sous le nom de loi des cosinus, est en quelque sorte une généralisation du théorème de Pythagore pour un triangle quelconque.

 

Figures 9 et 10 – Le théorème d’Al-Kashi généralise le théorème de Pythagore à tout triangle quelconque en reliant le carré de la longueur d’un côté aux carrés des deux autres côtés et au cosinus de l’angle compris entre ces deux autres côtés. C’est la « loi des cosinus ».

Encore une fois, la différence vectorielle des astigmatismes postopératoire K3 et préopératoire K1 donne le vecteur de l’astigmatisme induit K2 (représenté en jaune sur les figures 11 à 14), et les angles sont ici aussi doublés le temps des calculs. Dans le triangle formé par les côtés K1, K2 et K3, le théorème d’Al-Kashi exprime K2 en fonction de K1 et K3 et du cosinus de l’angle opposé à K2 noté δ (Fig. 12). Or δ est déterminé par la différence entre les angles γ (de K3) et α (de K1). On déduit donc la valeur de K2 comme la racine carrée de [K12 + K32 – 2 K1 K3 cosδ ].
D’après la loi des sinus (Fig. 15 et 16), on exprime dans le triangle K1 K2 K3 l’égalité des rapports entre K1/sin ν, K2/sin δ et K3/sin μ. Connaissant K3, K2 et δ, on en déduit donc la valeur de sin μ et donc de l’angle μ par la fonction sin-1.
Dans un parallélogramme (quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles), les angles opposés sont de même mesure et deux angles consécutifs sont dits supplémentaires (leur somme est de 180°). Ainsi, dans le parallélogramme représenté en rouge sur la figure 14, la somme des deux angles consécutifs μ + λ = 180°. Connaissant la valeur de μ, on calcule la valeur de λ. On en déduit la valeur de l’angle β = λ + α (Fig. 14). L’angle β doit enfin être divisé par deux pour achever le calcul du SIA, de grandeur K2 et d’angle β/2.

 

Figures 11 à 14 – Le théorème d’Al-Kashi généralise le théorème de Pythagore à tout triangle quelconque en reliant la longueur d’un côté aux deux autres côtés et au cosinus de l’angle compris entre ces deux autres côtés. C’est la « loi des cosinus ».

 

Figures 15 et 16 – Le mathématicien persan Abu Nasr Mansur établit au début du XIe siècle la loi des sinus, qui exprime dans tout triangle l’égalité des rapports entre chaque côté et le sinus de son angle opposé.

Conclusion

Mais comme vous le présumiez déjà, il n’est pas classique de faire ces calculs en routine pour chaque détermination d’un astigmatisme induit chirurgicalement, d’autant que ceux-ci sont devenus quasi nuls avec la diminution de la taille des incisions, et qu’il existe des logiciels automatisés de calcul du SIA (ex : sia-calculator.com) en fonction de la taille et de la localisation de l’incision.

L’auteur déclare ne pas avoir de liens d’intérêt en relation avec cet article.

Bibliographie

1. TaJaffe NS , Clayman HM. The pathophysiology of corneal astigmatism after cataract extraction. Trans American Acad Ophthalmol 1975 ; 98 : 773-83.
2. JP Colliac. Mesure de l’astigmatisme induit par analyse vectorielle. Chirurgie réfractive, Rapport SFO 2001.
3. Touzeau. Réfraction moyenne et variation de réfraction calculées dans un espace dioptrique. JFO 2010.
4. Alpins N. Astigmatism analysis by the Alpins method. JCRS 2001.